r , + → Notion de point matériel [ modifier | modifier le code ] v v v y x La cinématique du point est l'étude du mouvement d'un point matériel indépendamment des causes de ce mouvement. = 2 ′ u . v ′ {\displaystyle {\vec {r}}} ˙ {\displaystyle {\vec {r}}={\overrightarrow {OM}}} se décompose en ses composantes {\displaystyle x(t)} {\displaystyle {\vec {r}}'={\overrightarrow {OM}}'} 1 Il est facile de montrer que cette dernière est celle de la tangente à la trajectoire au point M, puisqu'en vertu de la définition précédente, quand Δt → 0, l'arc de trajectoire ˙ = x Toutefois, chaque horloge pourra varier par le choix de son "origine des dates", qui correspond par définition à t = 0, instant choisi comme point de départ de la mesure du temps. ′ En effet dans ce cas les équations horaires sont: et il est possible d'éliminer la date t entre ces deux équations horaires: qui est l'équation cartésienne[3] d'une parabole (physiquement, il s'agira d'un arc de parabole) de sommet Un référentiel : est lié à l’objet d’étude. Le rayon R de l'hélice est constant, par suite le vecteur accélération s'écrit dans le cas de ce type de mouvement: Dans le cas particulier important où le mouvement est uniforme, s Pour une trajectoire circulaire, le rayon de courbure est constant et égal au rayon de la trajectoire, le centre de courbure étant le centre du cercle représentant la trajectoire. {\displaystyle a_{y0}=g={\text{cte}}} avec ici ′ {\displaystyle {\frac {d{\vec {T}}}{ds}}} → Les coordonnées polaires dans le plan de la trajectoire sont les plus adaptées pour décrire ce type de mouvement. Plus de 6000 vidéos et des dizaines de milliers d'exercices interactifs sont disponibles du niveau primaire au niveau universitaire. ′ {\displaystyle {\vec {e}}_{\rho }} v {\displaystyle ({\vec {e}}_{\rho },{\vec {e}}_{\theta },{\vec {e}}_{z})} / L'équation de la trajectoire s'obtient en éliminant t entre les différentes équations horaires, ce qui n'est pas toujours en pratique possible. → e 2 → t , 0 e , {\displaystyle {\vec {N}}} 0 → → → → → e ) Mécanique Cinématique Cinématique C2 Vitesse et accélération page 5/5 5.4. z → 2 Introduction La cinématique est l’étude de la variation dans le temps des positions occupées par la matière dans l’espace, ceci indépendamment des causes qui produisent le mouvement. ) ( {\displaystyle {\vec {v}}_{M/R}} x t → 0 , O M Il s'agit d'une grandeur scalaire. 0 ( e Par définition, un référentiel est la donnée d'un corps matériel, réel ou imaginaire, dit parfois solide de référence, par hypothèse considéré comme immobile, auquel sont associés un repère d'espace, c'est-à-dire un système de coordonnées lié rigidement au solide de référence, permettant de déterminer les positions successives du point matériel étudié, et un repère de temps ou horloge. → θ T = 2. y ) u , le point matériel étant lancé avec la vitesse initiale 0 ( t ( est le vecteur position de M dans (R') qui s'écrit dans la base du repère d'espace associé à ce référentiel: x Le repère d'espace associé au référentiel (R) est noté Oxyz, celui qui est associé au référentiel (R'), en mouvement par rapport à (R), est noté O'x'y'z'. → = Finalement, la formule de composition des vitesses se met sous la forme: où {\displaystyle {\tfrac {2\pi }{\omega _{0}}}} L'avantage de cette méthode est qu'elle permet des systèmes triples bifocaux, par exemple très utile en astronomie. N R d → par rapport au temps, dans ce référentiel: Finalement, la loi de composition des accélérations se met sous la forme: Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre. ′ e → {\displaystyle v^{2}=h_{1}^{2}{\dot {u}}_{1}^{2}+h_{2}^{2}{\dot {u}}_{2}^{2}+h_{3}^{2}{\dot {u}}_{3}^{2}=f(u_{1},u_{2},u_{2},{\dot {u}}_{1},{\dot {u}}_{2},{\dot {u}}_{3})}. 1 ˙ → = = Sa norme En considérant des instants de plus en plus rapprochés, et donc en passant à la limite → M M ... La formule de la base mobile donne : En un point P donné de la trajectoire il est possible de définir les éléments suivants (cf. y ˙ u I. x N , 0 + → , {\displaystyle {\vec {v}}} ˙ / R f La cinématique de translation et de rotation s’applique lorsqu’un point du corps effectue une translation et que l’ensemble du corps effectue une rotation autour du point en translation (voir schéma C) comme par exemple lancer une balle de baseball. → Le carré scalaire est égal au carré de la norme (voir Formulaires et tables p. 48 et 49). e x t y {\displaystyle \Delta t\to 0} a 0 Accélération d’un point matériel 9 4. r ‖ → il vient: or puisque d 1re B et C 1 Cinématique du Point 10 Conclusions: 1. ′ → ˙ = , z / , ) e Mécanique : Cinématique du point La mécanique est le domaine de tout ce qui produit ou transmet un mouvement, une force, une déformation : machines, moteurs, véhicules, organes (engrenages, poulies, courroies, vilebrequins, arbres de transmission, pistons, etc.). Chapitre 2: Cinématique I Introduction La cinématique est l'étude des mouvements indépendamment des causes qui les produisent. r Par exemple, dans l'étude du mouvement d'une personne assise dans un train en marche, il est possible de considérer deux référentiels: celui lié au rail (ou au quai de la gare, au sol...), dans lequel le voyageur est en mouvement, et celui lié au wagon dans lequel il se trouve, dans lequel il est au repos. + Si M est la position du point matériel, Chapitre 10 - Cinématique du point / question 1. x 0 Re : Cinematique du point Tout d'abord, merci pour vos réponses ! → {\displaystyle (\rho ,\theta ,z)} en une composante tangentielle, donc colinéaire à {\displaystyle {\dot {x}}={\frac {dx}{dt}}} ϕ : l'angle algébrique bgOx Ox, 1, défini modulo 2π. ′ = → x En utilisant pour le repère d'espace les coordonnées cartésiennes, le vecteur vitesse En coordonnées sphériques, qui forment un système triple orthogonal, il est facile en ne faisant varier que r , de voir que h_r = 1 . ′ La cinématique est une science qui se donne pour objectif de décrire le mouvement d'un corps, indépendamment des causes qui le provoquent (l’étude des causes constituant l’objet de la dynamique). ne varie pas, il est possible de poser par exemple pour un mouvement selon l'axe (Ox): Le cas le plus simple est le mouvement rectiligne uniforme, pour lequel en plus v → Le vecteur accélération de M dans (R) s'obtient en dérivant le vecteur vitesse {\displaystyle {\dot {\theta }}=\omega _{0}{\text{ = cste}}} On appelle pas de l'hélice la distance parcourue le long de l'axe pendant la période T, soit en l'espèce: La nature du mouvement d'un point matériel et la forme de la trajectoire dépendent du référentiel choisi. , par suite il vient pour le vecteur vitesse du point matériel dans (R): Par ailleurs → ( → ( = Alors, Euler et Lagrange ont montré que pour obtenir les composantes de l'accélération dans ce repère triple, il suffit d'appliquer la formule : et de même pour les deux autres composantes. y ) θ Compte tenu du rôle particulier de l'axe de l'hélice il est possible d'utiliser les coordonnées cylindro-polaires pour décrire ce type de mouvement. ˙ {\displaystyle ds=\|{\vec {dr}}\|=\|{\vec {v}}\|dt=vdt} + t = d et décrivant les variations de la valeur de ce vecteur, et une composante normale, perpendiculaire à ρ R A une dimension, on a esoin d une coordonnée : → → + e R {\displaystyle {\vec {r}}=x{\vec {e}}_{x}+y{\vec {e}}_{y}+z{\vec {e}}_{z}} Exercices cinématique - Correction Exercice n°1 : Mouvement d'un objet assimilé à un point M. Ci-dessous, on a représenté les coordonnées dans un plan xOy d'un objet assimilé à un point M. Ses coordonnées sont notées x(t) et y(t) et dépendent du temps. ) → e y . R , CHAPITRE 1. Δ ′ : La notion courante d'accélération correspond à une augmentation de la valeur du vecteur vitesse. La cinématique est l’étude des mouvementsdes solides sans tenir compte des causes qui les provoquent. Concepts fondamentaux de la cinématique du point matériel, Référentiel, repère d'espace, repère de temps ou horloge, Description du mouvement du point matériel, Trièdre de Serret-Frenet - Description intrinsèque, Description du mouvement dans divers systèmes de coordonnées, Cas particuliers importants de mouvements, référentiel terrestre local (dit parfois "du laboratoire"), référentiel héliocentrique (dit de Kepler), la valeur de la vitesse ou de l'accélération du point, Il s'agit là de la définition de la dérivée vectorielle, comme limite du vecteur "vitesse moyenne" pendant la durée. + Les grandeurs physiques de la cinématique sont le temps, la position, la vitesse et l’accélération.  = cste {\displaystyle v_{x0}} O La notion d'abscisse curviligne peut être introduite à ce stade pour donner une interprétation plus physique de la notion de vecteur vitesse. {\displaystyle ({\vec {T}},{\vec {N}},{\vec {B}})} 1 θ Toutefois dans ce cas trivial, la tangente à la trajectoire a une direction confondu avec celle-ci et il est possible de définir le vecteur tangent Pour une trajectoire rectiligne, le rayon de courbure est infini en tout point de celle-ci, et le trièdre de Serret-Frenet n'est pas défini. → = ′ Ce type de mouvement résulte de la combinaison d'un mouvement circulaire et d'un mouvement rectiligne selon une direction (le plus souvent notée (Oz)) perpendiculaire au plan de cette trajectoire. y z {\displaystyle \Delta t=t'-t} M → Le vecteur position du point matériel est donné par Il est possible de montrer que En mécanique newtonienne, le temps en considéré comme absolu, c'est-à-dire identique dans tous les référentiels. Nous sommes tous familiers avec cette machine qui réactualise constamment le présent, qu'on appelle le temps et que l'on réduit souvent à ces quelques attributs : chronologie, durée, flèche du temps... Pourtant, les philosophes le savent bien, la question du temps est difficile et toute tentative de définitio… = / , ce qui implique 0 y Aussi deux "horloges" associés à deux référentiels différents auront la même marche, c'est-à-dire que le temps s'écoulera "à la même vitesse" dans chacun des deux référentiels. Exemples de mouvements 12 À retenir 18 Exercice d’application avec solution détaillée 19 Exercices 20 Solutions 23 CHAPITRE 2. e {\displaystyle {\vec {T}}} Nous allons donc, dans ce cours, nous donner le vocabulaire et les outils nécessaires à la description du mouvement : nous étudierons les différents types de mouvements (rectiligne, circulaire, uniforme…) et nous ferons également les différents moyens dont nous disposons pour les décrire. 2 , 0 = x → / ρ ′ ( , par exemple selon (Ox) t c Le mouvement par rapport à un référentiel donné (R) étant connu, il est possible de déterminer sa nature par rapport à un autre référentiel (R'). d ( r → → (segment de) droite: mouvement rectiligne; que la valeur de la vitesse soit constante: le mouvement est dit, que la valeur de l'accélération soit constante: le mouvement est dit, le centre de la roue est en mouvement rectiligne et uniforme par rapport à un référentiel lié à la route, tandis qu'un point matériel situé à l'extrémité de cette roue aura un mouvement. Relation entre vitesse linéaire et vitesse angulaire d'un point : sR vRR tt t 3 → / Le paramètre h_1 s'appelle paramètre de Lamé. T , l'expression du vecteur vitesse est la même que pour un mouvement plan en coordonnées cylindro-polaires. Le vecteur position varie au cours du mouvement et l'ensemble des positions successives au cours du temps de son extrémité M forme une courbe appelée trajectoire du point matériel M. La forme de la trajectoire dépend du référentiel d'étude. → {\displaystyle \left({\frac {d{\overrightarrow {O'M}}}{dt}}\right)_{(R)}={\dot {x'}}{\vec {e}}_{x'}+{\dot {y'}}{\vec {e}}_{y'}+{\dot {z'}}{\vec {e}}_{z'}+x'{\vec {\omega }}_{R'/R}\wedge {\vec {e}}_{x'}+y'{\vec {\omega }}_{R'/R}\wedge {\vec {e}}_{y'}+z'{\vec {\omega }}_{R'/R}\wedge {\vec {e}}_{z'}={\vec {v}}_{M/R'}+{\vec {\omega }}_{R'/R}\wedge {\vec {r'}}} y Dans ce ... Dans cette dernière formule, le point désigne le produit scalaire. = t {\displaystyle {\vec {v}}_{M/(R)}} t CHANGEMENTS DE RÉFÉRENTIELS 29 1. ρ , et le mouvement global possède la même périodicité. La nature du mouvement dépend bien sûr du point matériel considéré comme du référentiel d'étude, par exemple pour une roue de véhicule roulant sans glisser à vitesse de valeur constante: Un mouvement est dit rectiligne si la trajectoire du point matériel est une droite (un segment de droite en toute rigueur): par suite dans ce type de mouvement la direction du vecteur vitesse {\displaystyle {\vec {e}}_{\theta }} Cinématique du point - Les coordonnées sphériques (dans l'espace) Enregistrée par Stephan. ω u ) t Le mouvement d'un point matériel par rapport à un référentiel donné peut être caractérisé à l'aide de deux critères: Ces deux critères sont cumulatif: ainsi un point matériel se mouvant dans un référentiel donné selon une trajectoire correspondant à un cercle, et à vitesse de valeur constante sera en mouvement circulaire et uniforme par rapport à ce référentiel. x v , donc avec z v 2 d Les grandeurs étudiées sont des déplacements, des trajectoires, des vitesses. {\displaystyle {\vec {T}}^{2}=1} e g 0 {\displaystyle {\vec {v}}} dans la base orthonormale associée au repère Oxy lié au référentiel d'étude, soit r = En appliquant la formule d'Euler-Lagrange, on obtient : Ce qui est plus rapide que de réfléchir à calculer les dérivées temporelles des vecteurs unitaires (cela dit, c'est bien de connaître les deux méthodes). {\displaystyle v_{M}={\text{cte}}=v_{x0}} : 1 rad/s. ρ O En notant x0 et y0 les valeurs initiales respectives de x et y il vient: Comme le mouvement hélicoïdal est ici uniforme, le mouvement circulaire dans le plan Oxy est périodique de période 2 0 R ) 0 r u Cette année, nous mous limiterons à l’étude de la cinématique. e v y Elle est définie par la donnée des coordonnées en fonction du temps. Le mouvement le plus général du référentiel (R') par rapport au référentiel (R) est la combinaison: Le vecteur position de M dans (R) est donné par v v v T → 0 ) ( v Δ = t La cinématique du point permet d'introduire les concepts fondamentaux permettant de décrire le mouvement d'un corps matériel, en commençant par le cas le plus simple, celui du point matériel. CHAPITRE I : Cinématique du point matériel I.1 : Introduction La plupart des objets étudiés par les physiciens sont en mouvement : depuis les particules élémentaires telles que les électrons, les protons et les neutrons qui constituent les atomes, jusqu’aux galaxies, … pour un mouvement dans le plan xOy, c'est-à-dire si , ′ M
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