> Avant de traiter le problème avec ta rotation et ta matrice de rotation > S, je vais traiter d'abord les changements d'observateur, qui change de > base en laissant l'objet invariant. L'indice est alors noté en haut et la convention d'Einstein peut être utilisée, de telle sorte qu'il est écrit: Par un léger abus de langage, les termes covariant et contravariant sont aussi appliqués aux familles de vecteurs i x . Soit M1, M2, M3, les projections orthogonales du point M sur les axes du repère. Définition (simpliste): Les "tenseurs" sont des objets mathématiques généralisant les notions de vecteurs et de matrices. e ⋅ ∂ , … {\displaystyle E} ) ( ν Un vector es una cantidad cuya especificación requiere de tres números (en el caso de R3), sus componentes son … E … ainsi: Théorème — Les opérateurs de dérivation directionnelle selon les directions définies par les vecteurs d'une base forment une famille covariante d'opérateurs, qui sont donc notés avec un indice bas. μ ∂ Vecteur contravariant, covariant et covecteur Contraction tensorielle. ν . = . = i i k 1 k , ) {\displaystyle \mathbf {R} } {\overrightarrow {OM_{k}}}=OM_{k}}. ( Facile. 1.1.2 Convention de sommation Lorqu’on effectue lasomme de certaines quantités, on utilise couramment la lettre ( Par conséquent, à tout vecteur 1 ′ , x k = ) i x et k x ) Les coordonnées lagrangiennes XI (non, ce n'est pas une erreur, l'indice I est bien maintenant en haut, nous y viendrons bientôt) définissent sur Co un système de coordonnées cartésiennes orthonormées et nous noterons EIles vecteurs de base correspondants X = XI EI EI .EJ = Î´IJ Toutefois, s'il est souvent pratiq… et 1 {\overrightarrow {M_{k}M}}=e_{k}. : Par définition de la base duale, on a μ ( de M j = e ′ ( k {\displaystyle {\mathcal {V}}} } i {\displaystyle E^{*}} et seules les expressions (3:7) et (3:10) sont correctes. ′ = {\displaystyle T^{\mu }} : Le produit scalaire par ∂ ⋯ placer les index. Covariance et contravariance simultanée. = ∂ O {\displaystyle \mathbf {e'} =(\mathbf {e'} _{1},\mathbf {e'} _{2},\ldots ,\mathbf {e'} _{n})} {\displaystyle {\mathcal {V}}^{n}} + C'est une conséquence directe de la linéarité de l'opérateur de dérivation directionnelle selon la direction. Pour l'instant, un tenseur est un machin qui a des indices successifs qui peuvent se trouver en haut ou en bas, et qui se transforme de façon covariante pour les indices du bas et contravariante pour les indices du haut. La définition rigoureuse nécessite (je pense personnellement) d'avoir d'abord lu le présent chapitre dans son intégralité. k e . , c'est-à-dire le résultat . ( {\displaystyle \mathbf {e} ^{i}(\mathbf {x} )} 4.1 Plan euclidien. ) 1 ν n {\displaystyle \mathbb {R} } . {\displaystyle \mathbf {x} } . = Symboles de christoffel en coordonnées sphériques. Ils notent ainsi: T vers x T ) . {\displaystyle {\mathcal {V}}} ) n 1 , ) par les vecteurs d'une base Les coordonnées contravariantes d'un vecteur de sont les composantes habituelles de ce vecteur par opposition aux composantes covariantes. {\displaystyle X} → k d 1 ν alors ′ {\displaystyle \mathbf {x} } x {\displaystyle (x^{i})_{i=1\ldots n}} Maintenant comment fait-on si les axes ne sont pas perpendiculaires ? … {\displaystyle (X(i)(\mathbf {e} '))_{i=1\ldots n}} ′ On a, par définition des coordonnées du vecteur … M i e s'écrit: où les coefficients 1 : Théorème et définition — Les produits scalaires d'un vecteur par les vecteurs d'une base constituent une famille covariante de scalaires appelés coordonnées covariantes, qui sont donc notés avec un indice bas. ′ … ∑ n ν Théorème et définition —  Nous avons dit que cette formule n’est valable que dans les bases orthonormées. = Soit un vecteur chapitre d'Algèbre Linéaire). est dit contravariant "pour" (ou "selon") l'indice a varie de façon contraire, c'est-à-dire lorsque, T
2020 coordonnées covariantes et contravariantes