\lim_{\Delta t\to 0}\frac{\overline{\rm MM'}}{\Delta t} \overrightarrow{t} = © 2020 - eLearning.CPGE | Premium Partnership with CPGE SUP FAMILYCPGE SUP FAMILY /Contents 6 0 R endobj \end{array}\right. Entre deux instants, le trajet augmente proportionnellement à la durée : \(\Delta s=v_t\Delta t\). << Il s'agit donc d'un mouvement circulaire uniforme. Le vecteur position s’écrit En d’autres termes, on ne peut pas dire qu’un corps est “en mouvement” (ou “au repos”) sans préciser par rapport à quoi. On a, d’après les formules de Frenet a pour origine le point M(\(t\)) et pour base orthonormée (\(\overrightarrow{t},\,\overrightarrow{n}\)). x(t) & = & R\cos(\omega t)\\ De façon générale, la vitesse \(\left\Vert \overrightarrow{v}_{\rm M}\right\Vert =\left\Vert \mathrm{d} \overrightarrow{\text{OM}}/\mathrm{d} t\right\Vert \neq \mathrm{d}\text{OM}/\mathrm{d} t\). \end{equation} \[ \overrightarrow{a}_{\!\rm M}= \dot{r}\,\overrightarrow{u_r}+r\frac{\mathrm{d}\overrightarrow{u_r}}{\mathrm{d}t} \end{array}\right.\] \ddot x&=&-R\omega^{2}\cos(\omega t)\\ On associe à ces coordonnées deux vecteurs unitaires \(\overrightarrow{u_r}\) et \(\overrightarrow{u_{\theta}}\). Un point M décrit un mouvement circulaire d'équation polaire \(r(t)=R\) et \(\theta=\omega t\) avec \(\omega=\mathrm{C^{te}}\). \overrightarrow{u_{\theta}}\mapsto -\overrightarrow{u_r} Cette variable permet alors d’ordonner les événements observés pour produire une chronologie. une composante tangentielle liée au caractère non uniforme de la trajectoire ; une composante normale liée à la courbure de la trajectoire. \qquad\text{et}\qquad \] 2 1 CINÉMATIQUE DU POINT MATÉRIEL axe est linéaire et non circulaire pour respecter un principe fondamen-tal de physique qui, jusqu’ici, n’a jamais été infirmé : le Principe de Causalité. On obtient alors l'équation horaire exprimée dans la base \((\overrightarrow{u_1},\overrightarrow{u_2})\) ; les coefficients \(c_1\) et \(c_2\) désignent les coordonnées de M dans cette base. TD1 Cinématique du point Des vecteurs pour se repérer et trouver vitesses et accélérations Vecteur position Pour étudier le mouvement d'un point M au cours du temps, il est nécessaire de : – préciser le référentiel et le repère qui lui est lié 0, i, j, k – péciser la position du point par son vecteur position : /P -1852 Les vecteurs unitaires étant fixes dans \(\mathcal{R}\), on \(\frac{\mathrm{d} \overrightarrow{u_x}}{\mathrm{d} t}=\frac{\mathrm{d} \overrightarrow{u_y}}{\mathrm{d} t}=\overrightarrow{0}\). En effet, il a fallu attendre le XVIIe siècle avant que le temps devienne un concept fondamental en physique. \overrightarrow{v}_{\!\rm M}= \(\mathrm{m.s^{-2}}\). \left|\begin{array}{rcc} Dans tous les cas, la vitesse scalaire ne dépend pas de la base choisie. Enfin, depuis 1983 le mètre est défini à partir du phénomène de propagation de la lumière dans le vide. Dans ce cours, on illustre les notions de vitesse et d'accélération en se limitant aux mouvements dans le plan. \[ Notez que si la vitesse est constante, on dit que le mouvement est uniforme et l'on a \(s(t)=vt+s(0)\). /U <0788A8DB348352CC5AE48309C895B91328BF4E5E4E758A4164004E56FFFA0108> -\omega^{2}\,\overrightarrow{\rm OM}\] Il est alors traditionnel de noter \(x\) et \(y\) les coordonnées de M. Considérons un point M décrivant un mouvement plan muni d'un repère \((\text{O};\,\overrightarrow{u_{x}},\,\overrightarrow{u_{y}})\) d'équation paramétrique cartésienne : Initialement la seconde était définie à partir du jour solaire moyen J par la relation J = 86 400 s. Aujourd’hui, avec la définition de l’étalon seconde, on a J = 86 400,003 s. Cependant, il ne faut pas s’y tromper, même si la mécanique newtonienne avec son temps absolu a remporté un succès durant près de deux siècles, la question du temps refit surface avec la théorie de la relativité restreinte (Einstein 1905) dans laquelle la durée, la simultanéité et la chronologie deviennent des grandeurs relatives à chaque observateur : le temps absolu disparaît. /Length 128 Un point M décrit le mouvement plan d'équation paramétrique cartésienne : En d´eduire l’´equation de la tra-jectoire y= f(x). /Filter /FlateDecode \(\omega\) désigne la vitesse angulaire instantanée. Illustration sur la courbe elliptique. Trajectoire 19 I.3. Autrement dit, le vecteur accélération peut être vu comme une mesure d’un écart au mouvement rectiligne uniforme. /Marked true \qquad\Longrightarrow\qquad Reprenons le mouvement circulaire d'équation paramétrique cartésienne 5 0 obj Montrer que l'accélération est toujours dirigée vers le même point que l'on identifiera. \text{M}\left\{\begin{array}{ccc} Chapitre 2 : {Cinématique Du Point Matériel.} L’introduction du temps annonça la naissance de la physique moderne, sa disparition annoncera peut-être sa maturité... L’expérience montre que le mouvement possède un caractère relatif. De la même manière que les composantes du vecteur vitesse ne sont pas obtenues en dérivant les composantes du vecteur position, les composantes du vecteur accélération ne sont pas non plus obtenues en dérivant simplement les composantes du vecteur vitesse. Notez qu’un mouvement rectiligne uniforme se caractérise par un vecteur accélération nul puisque le vecteur vitesse garde une norme et une direction constantes. Considérons un point M décrivant une trajectoire au cours de son mouvement par rapport à un référentiel \(\mathcal{R}\). v_{\theta} &=&r\dot{\theta}=R\omega Chapitre 3 : {Dynamique Du Point Matériel.} /Type /Catalog dy dk du dv du dv dt y k u v uv uv t =+ + ++ Factorisons tous les termes ayant le même di et changeons le signe – par le signe + : dy dk dt du dv y k u uv v uv t =+ + ˘ ˘++ (1.12) y uvt yuuv vuv t = + + ++ Exemple1.7 :Calculer l’incertitude relative puis l’incertitude absolue de l’énergie électrique Insistons sur le fait que parler d’un mouvement sans définir le référentiel n’a aucun sens! * Dynamique du point matériel. \overrightarrow{v}_{\rm MM'}=\frac{\overrightarrow{\text{MM'}}}{\Delta t} \overrightarrow{a}_{\!\rm M} \triangleq Entre deux instants \(t_{1}\) et \(t_{2}\) on a \(v_{2}^{2}-v_{1}^{2}=2a(s_{2}-s_{1})\). /MediaBox [ 0 0 595.32 841.92 ] y(t) & = & R\sin(\omega t)\end{array}\right. Reprenons le cas précédent d'un point M décrivant une trajectoire d'équation paramétrique cartésienne : /Type /Pages Partons de l’expression \eqref{eq:vitesse_en_coordonnees_intrinseques} et dérivons-la par rapport au temps : \[ \end{equation}. /MarkInfo << \overrightarrow{r}(t)=c_1(t)\overrightarrow{u_1}+c_2(t)\overrightarrow{u_2} \frac{\text{d}\overrightarrow{t}}{\text{d}t}=\frac{v}{R}\overrightarrow{n} \[\overrightarrow{r}=r\,\overrightarrow{u_r} \] \frac{\textrm{d}\overrightarrow{u_r}}{\textrm{d}\theta}\times\frac{\textrm{d}\theta}{\textrm{d}t} On dit que le mouvement est uniforme. Supposons que le mouvement soit toujours dans le même sens et que l'on oriente la trajectoire dans le sens du mouvement. \omega(t)\triangleq \dot{\theta}(t) JavaScript is required to view the contents of this page. ), la mécanique du point permet de prédire l'évolution de ces paramètres en connaissant les causes du mouvement. \overrightarrow{a}_{\!\rm M}=R\frac{\mathrm{d}\omega}{\mathrm{d} t}\overrightarrow{t}+R\omega^{2}\overrightarrow{n} \begin{equation} On a déjà vu que \end{array}\right)= La cinématique étudie le mouvement du point indépendamment des causes qui lui donnent naissance. \[ 1 0 obj << \[\overrightarrow{a}_{\!\rm M} = Cet espace est absolu et ses propriétés sont indépendantes de la matière qui s’y trouve. On dit que le mouvement est rectiligne uniforme lorsque le vecteur vitesse est uniforme. << \] \[\overrightarrow{v}_{\!\rm M}=\dot{r}\,\overrightarrow{u_r}+ Vecteur vitesse instantané d’un point matériel … \overrightarrow{v}_{\rm M} = Notion de système : \qquad\text{et}\qquad Compositions des vitesses 4.1 Loi de composition des vitesses On considère un ascenseur qui démarre à l’instant initial G=0, avec une accélération de 1 m/s2 pendant 2 secondes. Repérage d’un point - Bases de projection 2.1. \[ \[\theta=\omega t\] \overrightarrow{a}_{\!\rm M}= Exercices sur "cinématique du point matériel" Exercice 1 Les équations horaires du mouvement d’un point mo ile M sont : ( ) 0 ( ) 3 2 ( ) z t y t t x t t 1. Déterminer la trajectoire du point mobile. Par exemple, au voisinage de la Terre, les lois d’Euclide ne sont pas rigoureusement vérifiées ; on observe des écarts relatifs de l’ordre de 10-9[2]. /StructTreeRoot 103 0 R \lim_{\Delta t\to 0}\frac{\overrightarrow{v}_{\!\rm M}(t+\Delta t)-\overrightarrow{v}_{\!\rm M}(t)}{\Delta t} = \end{array}\right. 1 Coordonnées cartésiennes II.2. \] >> L'application de la formule \eqref{eq:vitesse_en_polaire} donne Enfin, cette course du temps produit de la durée, grandeur qui mesure l’éloignement dans le temps de deux événements. \end{equation}. \qquad\text{avec}\qquad \overrightarrow{a}_{\!\rm M} = \dfrac{\textrm{d}^{2}s}{\textrm{d}t^{2}}\overrightarrow{t}\] \end{equation}, \begin{equation} \[ Le temps pourrait n’être qu’une illusion, une propriété émergente. \[\overrightarrow{a}=\left(\begin{array}{ccc} /F1 7 0 R Il est pratique d'utiliser une base orthonormée c'est-à-dire un ensemble de vecteurs tel que /F4 19 0 R On retiendra, Supposons maintenant que \(\theta(t)\) varie de façon quelconque. C’est en réfléchissant sur le concept de simultanéité dans le cadre des phénomènes électrodynamiques, qu’Albert Einstein révolutionnera la physique par l’invention d’une nouvelle théorie en 1905 : la relativité restreinte dans laquelle la simultanéité et la chronologie deviennent relatives à l’observateur. Nous avons vu que le point M décrit un cercle. /Type /Group Création : Juin 2009Mise à jour : Oct. 2019. \dot y &=&R\omega\cos(\omega t) La formule de Frenet résume parfaitement cette idée. /Tabs /S /F8 42 0 R \[ s(t)=\frac{1}{2}a_t\,t^{2}+v_{0}\,t+s_{0} \ddot{r}-r\dot{\theta}^2 &=& -R\omega^2\\ \begin{equation} \[ Considérons un point M en mouvement dans un plan muni d’un repère cartésien d’origine O et de base orthonormée (\(\overrightarrow{u_x},\overrightarrow{u_y}\)). Pour cela, on commence par orienter la courbe, c’est-à-dire que l’on définit arbitrairement un sens positif. OBJECTIFS DU MODULE MECANIQUE DU POINT MATERIEL: Initier l’étudiant aux notions fondamentales de la mécanique notamment la cinématique et la dynamique du point matériel et lui donner les notions de bases nécessaires à la maîtrise des fondements de la mécanique. /Font << \theta(t) & = & \omega t\end{array}\right. Les Chapitres De Module De Mécanique Du Point Matériel Pour (S1 _ SMPC) : Chapitre 1 : {Rappels Et Compléments Mathématiques.} Cet axe est linéaire et non circulaire pour respecter un principe fondamental de physique qui, jusqu’ici, n’a jamais été infirmé : le Principe de Causalité. Ici, le cercle est décrit à vitesse angulaire constante ce qui est caractéristique du mouvement circulaire uniforme. %PDF-1.5 \frac{v^2}{R}\overrightarrow{n} Autrement dit, le temps est irréversibleL’irréversibilité du temps traduit la course du temps, à ne pas confondre avec la flèche du temps qui traduit l’irréversibilité de certains phénomènes. Chapitre II : Cinématique du Point Matériel 19 I. Définitions 19 I.1. La distance parcourue \(d_{12}\) entre les instants \(t_1\) et \(t_2>t_1\) s'écrit \[ v_{\rm M}=\sqrt{{v_x}^2+{v_y}^2}=R\omega \] Exercice 2: … y(t) & = & R\sin(\omega t)\end{array}\right. Nous avons montré que la vitesse d’un point M repéré par ses coordonnées polaires s’écrit /O <8C3C2866A200FBFD288860440AA9B332AB2551AF7CBB85567BFE09B5A72FE47E> \[\overrightarrow{v}_{\!\rm M}=\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\,\overrightarrow{u_x} + \dot{r} &=& 0\\ D'une part, le vecteur vitesse est bien tangent au cercle puisque selon \(\overrightarrow{u_{\theta}}\). L’étalon mètre est donc relié à l’étalon seconde. \] r\dot{\theta}\frac{\mathrm{d}\overrightarrow{u_{\theta}}}{\mathrm{d}t}\] x\frac{\mathrm{d}\overrightarrow{u_x}}{\mathrm{d} t} + \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d} t}\,\overrightarrow{u_y} C'est pourquoi on fait tendre la durée \(\Delta t\) vers 0 pour définir le vecteur vitesse instantanée du point M. On appelle vecteur vitesse instantanée du point M par rapport au référentiel \(\mathcal{R}\) le vecteur Quelle est la nature de la trajectoire des ´elec- De sorte que la coordonnée \(c_i\) s'obtient simplement à l'aide d'un produit scalaire y(t) & = & R\sin(\omega t)\end{array}\right. \overrightarrow{v}_{\!\rm M}=\left(\begin{array}{rcl} I – Système de coordonnées – Cinématique du point matériel (avec et sans changement de référentiel). r\ddot{\theta}+2\dot{r}\dot{\theta} &=& 0 CP CP1 meca1 S1 15:41. Si l'on fixe une origine en M\(_{0}=(R,0)\), alors l'abscisse curviligne est liée à l'angle \(\theta(t)=\omega t\) : Montrer que l'accélération vaut \(v^2/R\). y(t) & = & R\sin(\omega t)\end{array}\right. \qquad\text{avec}\qquad \omega=\mathrm{C^{te}} \[ \[ La cause est, pour tout observateur, antérieure à l’effet qu’elle produit. On en déduit que \(a=v^2/R\). Si l'on note M, la position d'un point à l'instant \(t\) et M' sa position à l'instant \(t+\Delta t\), alors on peut définir un vecteur vitesse correspondant au trajet MM': Il continue avec une vitesse constante pendant 8 secondes et ralentit jusqu’à l’arrêt complet à accélération constante