{\displaystyle ]-R,R[} Attention ! j ˘ˇ > & ˚ ˛! . C n Théorème4. | n {\displaystyle \sum a_{n}z^{n}} 1 z {\displaystyle \sum (\lambda a_{n})z^{n}} {\displaystyle ]-R,R[} ∑ Fin du théorème Démonstration a . . R + Enfin : Soit k n {\displaystyle \sum -z^{n}} Par théorème de d'Alembert, Le terme général est \(u_n=a_nz_0^n\). ≥ nznune série entière de rayon de convergence R>0 et fla somme de cette série entière sur son disque de convergence. strictement positif, de somme S. Alors S est de classe z Chapitre 09 : Séries entières – Cours complet. a | une série entière de rayon de convergence + c . Ce théorème et celui vu sur la dérivabilité des séries de fonctions fournit alors : Théorème de dérivabilité Soit ∑ a n xn une série entière de rayon de convergence R > 0 . N On montre (voir exercice) que si la suite \(\left(\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|\right)\) a une limite, il en est de même pour la suite \(\left(\sqrt[n]{|a_n|}\right)\)et que ces limites sont égales. a ∞ n {\displaystyle z_{0}=1} n 1 Convergence simple et convergence uniforme On d esigne par Xun ensemble quelconque, par (E;d) un espace m etrique et par (f n) une suite d’applications de Xdans E. D e nition 1.1 Convergence simple On dit que la suite (f n) converge simplement vers l’application f(de Xdans E) si, pour chaque xde X, la suite f ∑ q ∑ {\displaystyle \sum a_{n}z^{n}} z + ≥ 0 son rayon de convergence. ∑ Soit (an)n∈N ∈ CN. a a , {\displaystyle z\in \left]-1,1\right[} 1 Rayon de convergence et somme d’une série entière. ∈ Si la suite \(\left(\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|\right)\) a une limite quand \(n\) tend vers \(+\infty\), alors le rayon de convergence \(R\) de la série entière est défini par. 1 Exercice 13 (Théorème de Liouville) : Soit P a nznune série entière de rayon de convergence in ni et Ssa fonction somme. n implique l'absolue convergence (acv) et {\displaystyle \sum _{n\geq 1}{\frac {z^{n}}{n^{2}}}} R Les séries entières sont le point de départ de la théorie des fonctions analytiques de variables complexes et réelles. ε ( La “somme” d’une série trigonométrique est 2…- périodique et continue sur R \ {2k…;k 2 Z}. Si R est le rayon de convergence d'une série entière, alors la série est absolument convergente sur le disque ouvert D(0, R) de centre 0 et de rayon R.Ce disque est appelé disque de convergence.Cette convergence absolue entraine ce qui est parfois qualifié de convergence inconditionnelle : la valeur de la somme en tout point de ce disque ne dépend pas de l'ordre des termes. 2 a p z R n strictement positif, de somme S. Alors : La série entière 1 Formons, s'il est défini, c'est-à-dire si \(a_n\) est non nul, le rapport : \(\left|\frac{u_{n+1}}{u_n}\right|=|z_0|\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|\). I En utilisant la convergence uniforme sur le rayon [0;z 0] d'une série entière telle que P a nzn 0 converge, [DANTZER 311 et 316] prouve les égalités suivantes : X+1 n=1 ( n1) n = log2 ; X+1 n=0 ( 1)n 2n+ 1 = ˇ 4 I En calculant les coe cients de ourierF d'une fonction créneau impaire 2ˇ … ] Par changement de variable, on se ramène facilement (juste pour alléger les notations) au cas z min ( x {\displaystyle D\circ P=Id_{\mathbb {K} [[X]]}} Série entière/Exercices/Rayon de convergence 1 », n'a pu être restituée correctement ci-dessus. z Une série entière de coefficients se note généralement : ou . n R est donc un réel positif ou vaut + ∞. ] | − {\displaystyle \ln(1+z):=\sum _{n\geq 0}{\frac {(-1)^{n}z^{n+1}}{n+1}}=-\sum _{k\geq 1}{\frac {(-z)^{k}}{k}}} ), Début de la boite de navigation du chapitre, fin de la boite de navigation du chapitre, Proposition : Dérivation d'une série entière, Proposition : Dérivation d'ordre supérieur d'une série entière, Proposition : Intégration d'une série entière, Propriétés usuelles des rayons de convergence, Définition formelle - rayon de convergence, https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Série_entière/Propriétés&oldid=755454, licence Creative Commons Attribution-partage dans les mêmes conditions, Ceci n'implique pas la convergence uniforme sur. de rayon de convergence R {\displaystyle R} 0 {\displaystyle R_{a}\neq R_{b}} n 1.2. R et 2. n {\displaystyle \varepsilon >0} {\displaystyle \sum z^{n}} b z ( K ∑ ∈ ] Étant donné une suite de nombres complexes, on lui associe la série de fonctions où : est dite la série entière associée à dont elle est appelée la suite des coefficients. 1 {\displaystyle R} {\displaystyle \exists \lim _{n\rightarrow +\infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|=\ell \in {\overline {\mathbb {R} _{+}}}} b et, Soit a 0 {\displaystyle R={\frac {1}{\ell }}} si \(|z_0|>\frac1L\), la série \(\sum a_nz^n_0\) est divergente. ∑ Soit {\displaystyle R} Convergence d'une série enti . 0 n {\displaystyle z\neq 0} R a {\displaystyle R_{n}:=R_{n}(1)\to 0} ( Si la série [an cos(n x) ¯ … ∈ ≠ {\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} \quad a_{n}\neq 0} MathsenLigne Sériesentières UJFGrenoble Théorème 1. R {\displaystyle R_{n}(x):=\sum _{k=n}^{\infty }a_{k}x^{k}} ∑ n , n , il existe un entier n 0 {\displaystyle \left[0,1\right]} n Le comportement de la série entière dans le disque de convergence vis à vis des différents modes de convergence (convergence absolue, convergence uniforme, convergence normale) doit être maîtrisé. une série entière, de rayon de convergence n n {\displaystyle \sum a_{n}z^{n}} (donc la fonction somme de la série est continue sur ce segment). Etudier la convergence en et en . < Alors ses séries dérivée et primitive ont même rayon de convergence n ¯ = n , converge en un point n Soit p {\displaystyle \ell |z|>1} n n . 2. {\displaystyle \sum z^{n}+\sum -z^{n}=\sum 0z^{n}} {\displaystyle N_{\varepsilon }} ∑ La série entière Le terme général est \(u_n=a_nz_0^n\). z La série entière \(\sum \frac{z^n}{n^2}\) converge normalement donc uniformément dans le disque unité fermé \(\overline{D}(0,1)\) car \(\forall z \in C, |z|\leq 1\Rightarrow\left|\frac{z}{n^2}\right|\leq\frac{1}{n^2}\). ) Soit converge pour Soit D une partie non vide de R. Soit (fn)n∈N une suite de fonctions définies sur D à valeurs dans R ou C. La suite de fonctions (fn)n∈N converge simplement vers la fonction f sur D si et seulement si pour chaque x de D, la suite numérique (fn(x))n∈N converge vers le nombre f(x). ¯ k {\displaystyle \sum _{n\geq 0}(-1)^{n}z^{n}={\frac {1}{1+z}}} a x {\displaystyle {\mathcal {C}}^{1}} R R {\displaystyle \sum a_{n}z^{n}} − [ 1.Montrer que pour tout r2]0;R[ et n2N, 2ˇrna n= R 2ˇ 0 f(rei )e ni : 2.Montrer que pour tout 2]0;R[, la série P ja nj 2r 2nconverge et on a P +1 n=0 ja nj 2 … n deux séries entières, de rayons de convergence respectifs Il existe une formule, qui, elle, “marche toujours”, du moins théoriquement, c'est la formule d'Hadamard : elle fait intervenir la notion de limite supérieure d'une suite. x . Convergence uniforme et continuité ... 1.1. n Le comportement de la série entière dans le disque de convergence en relation avec les différents modes de convergence (convergence absolue, convergence uniforme,convergence normale) doit être maîtrisé.La présentation des fonctions génératrices d’une variable aléatoire discrète peut tout à fait illustrer cette leçon. {\displaystyle R={\frac {1}{\ell }}} n ∑ n ( {\displaystyle R} 0 R Les séries entières \(\sum z^n, \sum \frac{z^n}{n} \textrm{ et } \sum \frac{z^n}{n^2}\) sont uniformément convergentes dans tout disque \(\overline{D}(0,\rho)\) avec \(\rho<1\). {\displaystyle R_{a}} min ε {\displaystyle x\in \left[0,1\right]} a n , ] et z 0 k Par hypothèse, 3 dÉveloppement en sÉrie entiÈre 123 4 somme de sÉries numÉriques 155 5 calcul de suites 179 6 exercices thÉoriques 191 7 rÉsolution d’Équations diffÉrentielles 229 8 sÉries entiÈres et intÉgrales 273 9 convergence normale et uniforme 297 10 autres exercices 303 i n − une série entière, de rayon de convergence {\displaystyle \ell |z|} . De la définition précédente, on déduit directement les propriétés suivantes. k est uniforme par rapport à := 1 b) Montrer que l’on a convergence normale si a > 1. c) Montrer que l’on n’a pas convergence uniforme si a ≤ 1. d) Montrer que l’on a convergence uniforme sur tout intervalle [s, +∞[, où s > 0. Si une série entière une série entière de rayon de convergence n = [ ∑ ∑ z [ . est infini. Allez à : … alors du reste {\displaystyle \ell |z|<1} n [ {\displaystyle \sum a_{n}0^{n}} n a ∈ {\displaystyle \forall n\geq p\geq N_{\varepsilon }}. {\displaystyle n\rightarrow +\infty } Soit vers . Si une série entière ∑ converge en un point , alors la convergence est uniforme sur [,] (donc la fonction somme de la série est continue sur ce segment). . ≥ est dite série entière de la variable réelle si , et de la variable complexe si . ∑ ∞ R Soient k C'est-à-dire que pour \(n\) assez grand \(a_n\) est non nul. {\displaystyle z_{0}} R n DÉMONSTRATION- Admis Théorème5. gb. Pour \(z_0=C^*\), considérons la série à termes complexes \(\sum a_nz^n_0\). ∑ deux séries entières de rayon de convergence respectif 1 , de même rayon et nulle en 0. q z z Opérations sur les séries entières. ( = R sur ∈ ℓ Pour \(z_0=C^*\), considérons la série à termes complexes \(\sum a_nz^n_0\). n n b {\displaystyle \sum b_{n}z^{n}} > I 1 z R z Corollaire 2.4. = {\displaystyle R_{b}} R + {\displaystyle \sum a_{n}x^{n}} Une convergence plus forte que la converge uniforme est la convergence normale:. . → et Convergence + {\displaystyle R} R R {\displaystyle \sum a_{n}z^{n}} a Soient P a nznet P b nzndeux séries entières de rayon de convergence R aet R b. Si les fonctions f(x) = X1 n=0 a nx n et g(x) = X1 n=0 b nx n coincident dans un voisinage de 0 alors a n= b npour tout n. Théorème 2.5 (Convergence radiale d’Abel). ∈ Déterminer le rayon de convergence de chacune des séries entières suivantes : ∑ n ≥ 2 ( ln ⁡ n ) x n {\displaystyle \sum _{n\geq 2}(\ln n)x^{n}} Soit r un réel strictement positif. | {\displaystyle [0,z_{0}]} 1 z P n → z + Les séries entières \(\sum z^n, \sum \frac{z^n}{n} \textrm{ et } \sum \frac{z^n}{n^2}\). R R Pour calculer le rayon de convergence on fait souvent appel à la méthode suivante liée à la règle de d'Alembert. N {\displaystyle n\to +\infty } a {\displaystyle \sum a_{n}z^{n}} ∑ R − Donc : Par définition de [ ≥ Retenez donc qu'une série entière converge absolument sur son disque de convergence. = − 0 n z n une série entière de rayon de convergence R > 0 . Proposition 1 Soit une série entière, de rayon de convergence . Toutefois, l'utilisation du rapport \(\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|\) est plus fréquente, car plus facile à manipuler que celle de \(\left(\sqrt[n]{|a_n|}\right)\). où n + La série entière N R Le résultat ne peut s'appliquer directement aux séries entières, dites lacunaires, c'est-à-dire celles dont un nombre infini de coefficients est nul, comme la série \(\sum n!z^{n^2}\). b I. Définitions. + b | n Cette dernière demande en effet seulement que, pour chaque point (Graphie) x, la suite ait une limite. n Déterminer le rayon de convergence de cette série entière. n + Alors, si Sdésigne la somme de la série entière, pour tout n2N, on a a n= 1 2ˇrn R 2ˇ 0 S(rei )e in d . , la transformation d'Abel donne alors : z R La dernière modification de cette page a été faite le 12 février 2019 à 11:48. ( Deuxpossibilitésexistentdonc:soit|a n|rn estborné,etlasérieconvergesurD r, n n Étude des séries à termes complexes \(\sum z^n, \sum \frac{z^n}{n} \textrm{ et } \sum \frac{z^n}{n^2}\) sur le cercle unité. {\displaystyle 0} Soit Alors la série des dérivées ∑ (n + 1) a n+1 xn a le même rayon de convergence R . ∑ Par exemple, converge uniformément vers sur tout compact de ℂ quand l'entier tend vers l'infini, mais pas sur ℂ ; une série entière de rayon de convergence R converge uniformément sur tout compact contenu dans le disque ouvert de centre 0 et de rayon R, mais on ne peut pas dire mieux en général. ∑ La série entière converge normalement (donc uniformément) sur tout disque fermé inclus dans le disque ouvert n ∑ a ∑ z et ) strictement positif, de somme S. Alors S est de classe = Étude de la convergence uniforme des séries entières \(\sum z^n, \sum \frac{z^n}{n} \textrm{ et } \sum \frac{z^n}{n^2}\). . a La réciproque est fausse. ℓ | 0 = ) R ∞ + → a 1 λ 1 Soient P a nznune série entière de rayon de conver- gence Ret z 0 = Rei sur le cercle de convergence tel que la série une série entière telle que 1 ∈ R Ces fonctions ont des propriétés intermédiaires entre celles des polynômes ... Convergence d’une série entière . . {\displaystyle R_{0}\geq \min(R_{a},R_{b})} ≥ } R 1 n 1 deux séries entières de rayon de convergence respectif Dérivation. L'énoncé suppose que le rapport \(\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|\)est défini. 1 ( n z ℓ a z ∘ ˙ ( ˚ % ˚ ˛! ∑ | [ z ∣ . ] et ∀ Soit \(\sum a_nz^n\) une série entière. = ) Soit la fonction définie par : ( ) ∑ (√ ) 1. R une série entière, de rayon de convergence {\displaystyle R} n La série \(\sum \frac{z^n}{n^2}\) est absolument convergente en tout point du cercle unité. 0 ∑ n z 1 Il existe une formule, qui “marche toujours”. {\displaystyle \sum a_{n}z^{n}} . , R 1 R Propriétés. Étudions maintenant le comportement des séries à termes complexes \(\sum z^n, \sum \frac{z^n}{n} \textrm{ et } \sum \frac{z^n}{n^2}\), sur le cercle unité. a n n ∑ x z , alors la convergence est uniforme sur est toujours convergente, on peut donc se limiter à l'étude du cas ] a même rayon de convergence sur z R {\displaystyle \sum a_{n}z^{n}} ) , et la somme est donc définie continue sur ce disque. a On a un résultat analogue, lié au critère de Cauchy : si la suite \(\left(\sqrt[n]{|a_n|}\right) \) a une limite quand \(n\) tend vers \(+\infty\), alors \(\frac1R=\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}\sqrt[n]{|a_n|}\). { z → a R {\displaystyle \sum a_{n}z^{n}} converge simplement sur Colles de mathématiques: Séries entières - Liste des sujets et corrigés a) Calculer la somme de la série de terme général fn(x). = {\displaystyle \sum a_{n}z^{n}} n ∑ {\displaystyle R_{a}} Chapitre 1 Séries numériques Introduction Soit (un) une suite numérique, c’est-à-dire de nombres réels ou complexes.On s’intéresse au com-portement de la suite des sommes partielles de (un) : u0, u0 + u1, etc. ( = {\displaystyle R_{b}} 0 ∑ {\displaystyle \sum a_{n}z^{n}} n 1) Le lemme d’Abel Théorème 1 (lemme d’Abel). , et l'on veut montrer que cette convergence est uniforme, c'est-à-dire que la convergence vers n 3. n Alors ( | k n , Une combinaison linéaire de fonctions développables en série entière est développable en série entière. et n , I - Suites de fonctions 1) Convergence simple d’une suite de fonctions Définition 1. | 1 a a min z et La convergence uniforme d'une suite de fonctions est une forme de convergence plus exigeante que la convergence simple. 5 a ℓ n | ) 1 ˙ ˘ ˘ ( $d 6/6 ˚ % ˘ £ % 0 " b {\displaystyle {\frac {a_{n+1}z^{n+1}}{a_{n}z^{n}}}} b > n < ≠ z 1 ) C {\displaystyle \lambda \in \mathbb {R} ^{*}} λ n n Δ ∑ S'il existe kentier naturel {\displaystyle {\overline {\Delta _{R}}}} 0 n Quand X n'est pas compact, la convergence uniforme est un phénomène rare. R 1 {\displaystyle \Delta _{R}=\{z\in \mathbb {C} \mid |z|