Reconnaître une série géométrique et connaître la condition de convergence. /Subtype /Form /Length 3324 /Subtype /Form /Length 15 (b)Calculer la vergence du dioptre. /Resources 12 0 R /Matrix [1 0 0 1 0 0] /Resources 18 0 R On repère par une lettre minuscule, la position de l’arbre par rapport à la OPTIQUE GÉOMÉTRIQUE Série 3 : Correction Exercice 1 1.Un dioptre sphérique de rayon de courbure r égal à + 2 cm, sépare deux milieux d’indices n= 3 2 et n 0=1. Définition : La natured'une série est le fait qu'elle … stream /Length 15 /BBox [0 0 100 100] >> << /Matrix [1 0 0 1 0 0] endobj << ( )]est le terme général d’une série géométrique de raison dans [, la série converge. /Filter /FlateDecode /BBox [0 0 100 100] >> %PDF-1.5 << 23 0 obj Modéliser avec la somme des termes d'une suite géométrique - exemple 1 Notre mission : apporter un enseignement gratuit et de qualité à tout le monde, partout. h��Xmo�8�+������K�T�j�+!>��9AIVj���؁����m�,���y�L1�� K�҄IJ�Q�3"(���� Bc/���+� �^���>C�e�DŽq.� �����´b�k�'. SÉRIES 1. � %PDF-1.5 %���� /Matrix [1 0 0 1 0 0] /Resources 27 0 R /Type /XObject h�b```f``�b`e`�ndd@ A��&��UO�}�bz&�F�D�Z3c�_��z"�ٶ�-���Y��{?�ٲ�^_����g��������6勓"'m?�g�k�"X���������Il���A�|�7Y�q��my�ż�̗�X�I�\ ��g5�����z��W�#�ƛ��s��/���X����⋠�E����!�/�I��h�鹼r��Km /Type /XObject /BBox [0 0 100 100] endobj On repère par une lettre Majuscule, la position de l’alésage par rapport à la dimension nominale. endobj 137 0 obj <>/Filter/FlateDecode/ID[<4704FAC8C3DE2F3D05079E8253BD180A><23CA268D503FE44B986470E145EC17BD>]/Index[106 54]/Info 105 0 R/Length 133/Prev 265100/Root 107 0 R/Size 160/Type/XRef/W[1 3 1]>>stream n) est une suite géométrique dont on donnera la raison. endstream Cours Liaison Chimique S2 SMPC En PDF Examens Chimie En Solution SMPC S2 Avec Corrigés (.PDF) Examens Corrigés Optique Géométrique S2 SMPC / SMIA Cours Analyse 2 S2 SMPC / PDF / Détaillé Chimie En Solution - Examens Corrigés - SMPC / S2 Cours Eléctricité 1 S2 SMPC SMIA En PDF Résumés Optique Géométrique S2 SMPC / SMIA / PDF /Type /XObject Reconnaître la somme d'une série géométrique. Objectifs Introduire la notion de série numérique avec l’exemple de la série géométrique. - 3 - Définition 1.3 : série télescopique Une série réelle ou complexe ∑un est dite télescopique lorsque son terme général peut se mettre sous la forme : ∀ n ∈ , u n = a n+1 – a n, où (a n) est une suite de réels ou de complexes. /Resources 24 0 R /Subtype /Form stream On peut naturellement dé nir des séries géométriques dérivées k-ièmes pour des aleursv /Filter /FlateDecode On appelle alors S = P +1 k=0 u kla somme de la série P >0 uk, et on dit que la série est convergente.Sinon, on dit qu’elle est divergente. /FormType 1 endstream endobj 107 0 obj <> endobj 108 0 obj <> endobj 109 0 obj <>stream stream endobj /Filter /FlateDecode /Resources 10 0 R est le terme général d’une série géométrique convergente car ] [donc la série de fonction de terme général converge normalement. /Length 15 0 Sinon, on dit qu'elle diverge. endstream >> PROGRESSION GÉOMÉTRIQUE . Exercice 7 : On place un capital U 0 =1500 euros à 4,5 % par an avec intérêts simples. Est-il convergent ? La série géométrique P 1 10n converge,car 1 10 <1.Lasérie P 9 10n convergeaussiparlinéarité,d’oùlerésultat. /Filter /FlateDecode endstream /Length 15 /Filter /FlateDecode DÉFINITIONS – SÉRIE GÉOMÉTRIQUE 2 Si la suite (Sn)n>0 admet une limite finie dans R (ou dans C), on noteS = +X1 k=0 uk = lim n!+1 Sn. Elle converge sans converger absolument. >> 20 0 obj /Resources 5 0 R /Length 15 /Type /Pattern /PatternType 1 /PaintType 2 /TilingType 1 /BBox [-0.99628 -0.99628 3.9851 3.9851] /XStep 2.98883 /YStep 2.98883 /Resources << >> /Subtype /Form x���P(�� �� La série pour l'espérance est (à un facteur près) une série geométrique dérivée, elle est donc convergente, et E(X) = +X∞ k=1 pk(1 − p)k−1 = p × 1 (1−(1−p))2 = p p2 = 1 p. On a donc E(X)2 = 1 p2. Si , ( ) , la série nulle converge. • Si Ra =+∞, alors pour tout z ∈ C, la série de terme général anzn, n ∈ N, converge absolument et en particulier, x���P(�� �� x�+T0�3��0U(2��,-,,�r��,,L�t�–�fF /Type /XObject << L’exemple que nous venons de présenter décrivait une suite géométrique croissante. suite, suite numérique, suite arithmétique, suite géométrique, sens de variation d'une suite, exercices de mathématiques, maths, première, 1ère, S Voir aussi: Cours associé: suites numériques Page de 1ère S: tout le programme et les cours Devoirs de 1ère S sur les suites Source Afficher la source LaTeX /BBox [0 0 100 100] >> est une suite géométrique de raison 3 et Calculer . /Subtype /Form /FormType 1 qn est appelée série géométrique de raison q. Les séries de terme général nqn−1 et n(n − 1)qn−2 sont appelées respectivement séries géométriques dérivée et dérivée seconde de raison q. Remarque 6 . d’où Exercice 3 Soit et les suites définies sur par et a) Démontrer que la suite de terme général est une suite géométrique . h�bbd```b``a�! Si jqj 1, la série est grossièrement divergente. stream Cours et exercices corrigés CRISTALLOGRAPHIE GÉOMÉTRIQUE et RADIOCRISTALLOGRAPHIE 3 e édition Licence 3 @BULLET Master @BULLET Écoles d'ingénieurs Soit n > 1. 17 0 obj (b) En déduire qu’à partir du rang p, la série de terme u k est minorée par une série géométrique de raison r. /FormType 1 Montrons que ∀N ∈ N∗, +X∞ n=1 ln 1 − 1 pn −1! Les suites arithmétiques [modifier | modifier le wikicode]. valeurs : série géométrique partant de 101 et de raison 10(1/10) pour les R10 et Ra10, 10(1/20) pour les R20 et Ra20 ... 56 85 5.2.2 Position. stream Par exemple, les deux séries P (1 + 2n)zn et P (1 −2n)zn ontpourrayondeconvergence 1 2.Leursomme P 2zn apourrayondeconvergence1. 26 0 obj /Length 15 /Filter /FlateDecode endstream /Type /XObject Si x = 1, anx n = (−1)n lnn est le terme général d’une série alternée, car la suite (1/lnn) décroît et converge vers 0. endstream endobj 2. une série géométrique). 195 0 obj Dit autrement, la différence entre un terme et le suivant est une constante et chaque terme s’obtient en additionnant une constante au terme précédent. a) un = 3n +n4 5n −3n, b) un = ch(2n) ch(3n), c) un = 1 2 + 1 2n n d) un =th(n+a)−thn (a ∈ R) , e) un =(3+(−1)n)−n, f) un = 1 1+x2n (x ∈ R) 3. /BBox [0 0 100 100] >ln XN k=1 1 k!. Alors 1 pn < 1 et la série de terme général 1 pk n, k ∈ N, est une série géométrique convergente de somme : X+∞ k=0 1 pk n = 1 − 1 p −1. @� (� iV�\‡p�,���*p����5�BJ�(|A�t�:끴,�C/������\"&4�3u��p7��10I��f`:��A9x���� !f�680Hy7���cL>-!������p6ن��������a`����D�3�pdC��J 3Z�R endobj 9 (3.d) Si < 1, alors ∫ 1 n f (t)dt = ∫1 n 1 t(lnt) dt = lim A!1 [(lnt) 1 ]A = 1: La série est alors divergente. ou. Une série géométrique de premier terme ∈ et de raison ∈ est la série de terme général . endstream << �q?�du�����d��w�H�20y,2��&��E�@$W+�"MW���`[�@��[ � �� V�����*5��&Cܠvm���s�� ���`��@�g`Z� � rp� SUITE GÉOMÉTRIQUE. << Les suites arithmétiques sont des suites où les termes augmentent d'un pas régulier : : on compte de 2 en 2, de 3 en 3, de 1.6 en 1.6, de 39 en 39, etc. » sont dans la série et que donc la série diverge. est donc la suite géométrique des puissances de 2 de premier terme . (a) Justifier qu’il existe un entier ptel que k √ u k >rpour tout k>p. Utiliser les fonctionnalités de TI … le rayon de convergence de la série somme ou de la série produit soient strictement supérieurs à min{R a,R b}. /BBox [0 0 100 100] << Remarque : Si la raison q est négative alors la suite géométrique n'est pas monotone. x���P(�� �� endobj x���P(�� �� Or, la suite 16 ,8 ,4 ,2 ,1 ,1/2 ,… = est une suite géométrique décroissante de raison ½. Une suite géométrique est : croissante si et seulement si P 1 x���P(�� �� On appelle suite des sommes partielles de , la suite , avec . (a)Sur une figure à l’échelle, placer les foyers F et F’. stream Notation : La série de terme général se note . Définition : Soit une suite d'éléments de . Solution de l'exercice 3 La première série est une série géométrique de raison q 1. On s'intéresse particulièrement à la somme qui est nommée: Série géométrique. La moyenne géométrique est un autre type de moyenne, mais au lieu d'additionner vos nombres et de les diviser par l'effectif de la série, comme c'est le cas pour une moyenne arithmétique, il faut ici les multiplier avant de calculer une racine du résultat. stream Il reste donc à étudier la nature de la série de terme général ln 1 − 1 pn −1!. x���P(�� �� /Resources 21 0 R /Subtype /Form >> /Type /XObject Définition : Dans le cas où la série de terme général converge, la limite, notée , de la suite est appelée somme de la série et on note : . /Matrix [1 0 0 1 0 0] 4 0 obj qui est le terme général d’une série positive divergente (série de Bertrand). Donc A =]−1, 1[ et C =]−1, 1] . /Length 15 /BBox [0 0 100 100] Démonstration. /Length 53 /Matrix [1 0 0 1 0 0] stream /Subtype /Form Soit (an)n∈N ∈ C N. • Si Ra =0, alors pour tout z ∈ C∗, la suite (anzn) n∈N n’est pas bornée et en particulier, la série de terme général anzn, n ∈ N, diverge grossièrement. /Length 15 /Subtype /Form /Resources 8 0 R x���r���_�. /Filter /FlateDecode 3) Calculs de rayons Théorème 2 (caractérisation du rayon de convergence). � ( ) EXEMPLE 2 : Considérons la série ∑ 1 nα, dite série de Riemann. /FormType 1 /Matrix [1 0 0 1 0 0] /Filter /FlateDecode Nous disposons du résultat suivant : Les séries ( ∑ 1 nα) convergent si et … Série entière (rappels) • Définition On appelle série entière de la variable x toute somme (finie ou infinie) des éléments d’une suite numérique de terme général u k = a kxk où a k est un réel et k un entier naturel. 159 0 obj <>stream a) Donner la nature de … par une série géométrique de raison r. (c) En conclure que la série de terme u k converge. x���P(�� �� /Type /XObject /FormType 1 La suite géométrique (u n) définie par u n =−4×2n est décroissante car le premier terme est négatif et la raison est supérieure à 1. 11 0 obj stream Comme premier exemple de série géométrique, nous allons prendre le cas de la suite des puissances d'un nombre (compris entre 0 et 1), à savoir la suite suivante : 1. Lasérie P zn apourrayondeconvergence 1,lepolynôme1 −zestunesérieentière >> /Matrix [1 0 0 1 0 0] Théorème 1.4 : convergence d’une série télescopique 106 0 obj <> endobj endstream endobj startxref 7 0 obj endstream /FormType 1 Représenter une fonction par une série géométrique (sur l'intervalle de convergence) (Ouvre un modal) Le développement en série entière de ln(1+x³) (Ouvre un modal) S'entraîner . 1 , r , r 2 , r 3 , r 4 , ⋯ {\displaystyle 1,r,r^{2},r^{3},r^{4},\cdots } Cette suite n'est autre que la suite définie par la relation de récurrence suivante : 1. u 0 = 1 {\displaystyle u_{0}=1} 2. u n = r n = u n − 1 × r {\displaystyle u_{n}=r^{n}=u_{n-1}\times r} On voit qu'il s'agit d'un cas particulier de suite géométrique, où le premier terme est égal à 1… Cette série est une série divergente, car son terme général est équivalent à 1 n qui est positif, et terme général d'une série divergente. 1. La série est alors convergente. << %���� Sur tout intervalle où elle est convergente, une série entière a pour somme une fonction. [( )]est le terme général d’une série géométrique de raison dans , la série converge. ] /Type /XObject stream Allez à : Exercice 4 Correction exercice 5. b) Calculer la production de l’usine en 2005. géométrique 10 ,10.33 ,15.63 ,…. �+ � Il existe r∈ Rtel que 1> On note U n le capital obtenu au bout de n années. Définition : On dit que la série de terme général , converge la suite des sommes partielles converge. 2) On suppose que c>1. %%EOF endobj S'entraîner . endstream 9 0 obj << Nombres successifs tels que ch a cun est ég a l. a u précédent multiplié p a r une v a leur fixe, appelé raison. Notations. 197 0 obj /Matrix [1 0 0 1 0 0] Si jqj > 1, la série … endobj Une condition nécessaire et suffisante de convergence est, si a est non nul, que la raison q soit un complexe de module strictement inférieur à 1. >> /FormType 1 /FormType 1 Le reste d'ordre de la série est alors noté et il vaut : . /Filter /FlateDecode Chapitre 02 : Séries numériques – Cours complet. 4 questions. De plus, X(X − 1) admet une espérance (on a une série de type géométrique … /BBox [0 0 100 100] RÉSUMÉ (u n) une suite géométrique - de raison q - de premier terme u 0. endstream /Filter /FlateDecode >>